Mungkin sebagian besar dari kita
telah berkali-kali naik-turun tangga yang ada di rumah, sekolah, ataupun tempat
lainnya. Bagaimana dengan kemiringan tangga yang pernah kamu naiki/turuni?
Perhatikan gambar tangga berikut!
Kedua tangga di atas memiliki
ketinggian yang sama, akan tetapi lebarnya berbeda. Tangga biru memiliki lebar
yang lebih kecil daripada tangga kuning. Apabila kamu disuruh untuk menaiki
salah satu tangga tersebut, tangga manakah yang akan kamu naiki? Mungkin
jawaban dari pertanyaan ini berbeda-beda. Apabila kita ingin cepat mencapai
puncak, tentunya kita akan memilih tangga yang berwarna biru. Sedangkan apabila
kita ingin menghemat tenaga kita, tentunya kita akan memilih tangga yang
berwarna orange.
Dari kedua tangga di atas,
kemiringan adalah hal yang membedakannya. Tangga biru memiliki kemiringan yang
lebih besar (lebih tegak) daripada tangga kuning. Begitu juga dengan tangga,
ruas garis pada bidang koordinat juga memiliki kemiringan tertentu. Perhatikan
contoh 3 ruas garis berikut.
Ruas garis AB melalui
titik-titik A(3, 1) dan B(6, 2). Untuk menentukan kemiringan ruas
garis AB, kita tentukan terlebih dahulu lebar, Δx, dan tingginya, Δy.
Kemiringan ruas garis AB
dapat ditentukan dengan membagi Δy dengan Δx. Sehingga kemiringan
ruas garis AB: Δy/Δx = 3/3 = 1. Kemiringan dari ruas garis
ini selanjutnya disebut gradien.
Gradien merupakan tingkat kemiringan
ruas garis atapun garis. Gradien dapat ditentukan dengan membagi Δy dengan Δx.
Dari kesimpulan tersebut, kita juga
dapat menentukan gradien dari ruas garis KL dan PQ. Gradien dari
ruas garis KL adalah Δy/Δx = (7 – 3)/(2 – 0) = 4/2 = 2.
Sedangkan gradien dari ruas garis PQ adalah (5 – 6)/(3 – 1) = –1/2.
Setelah mengetahui gradien pada ruas
garis yag melalui dua titik tertentu, sekarang mari kita lanjutkan pembahasan
kita mengenai gradien pada garis yang memiliki persamaan tertentu.
Menghitung Gradien pada Persamaan
Garis y = mx
Garis yang memiliki persamaan y
= mx melalui titik asal, O(0, 0). Karena apabila kita
substitusikan x = 0, maka kita dapatkan y = m(0) = 0.
Untuk (x, y) titik selain (0, 0) yang dilewati oleh garis y
= mx, kita dapat menentukan gradien garis tersebut sebagai berikut.
Perhitungan di atas dapat membawa
kita untuk mengetahui gradien dari y = mx. Apa yang dapat kita
peroleh dari perhitungan di atas?
Gradien dari garis yang memiliki
persamaan y = mx adalah m.
Sebagai contoh kita dapat menentukan
gradien dari garis yang memiliki persamaan y = 3x dan –2x
= 5y. Dengan jelas kita dapat menentukan gradien dari y = 3x
adalah 3. Bagaimana dengan gradien garis –2x = 5y? Untuk
menentukan gradien garis tersebut, kita ubah dulu persamaan garis tersebut
menjadi bentuk y = mx.
Dari perhitungan tersebut kita dapat
memperoleh bahwa gradien dari garis –2x = 5y adalah –2/5.
Menghitung Gradien pada Persamaan
Garis y = mx + c dan ax + by + c = 0
Misalkan dua titik K(x1,
y1) dan L(x2, y2)
dilalui oleh garis y = mx + c. Maka y1 =
mx1 + c dan y2 = mx2
+ c. Sehingga gradien dari garis y = mx dapat ditentukan
sebagai berikut.
Sehingga gradien garis yang memiliki
persamaan garis y = mx + c adalah m, yaitu
koefisien dari x. Bagaimana dengan gradien dari garis yang memiliki
persamaan garis ax + by + c = 0?
Untuk menentukan gradien dari ax
+ by + c = 0, kita ubah dulu persamaan ax + by + c
= 0 menjadi bentuk y = mx + c, seperti berikut.
Dari uraian di atas, ax + by
+ c = 0 dapat diubah menjadi y = –a/b x – c/b.
Sehingga, gradien dari ax + by + c = 0 adalah –a/b.
Gradien dari garis y = mx + c adalah
m, sedangkan gradien dari garis ax + by + c = 0 adalah –a/b.
Dari kesimpulan di atas, kita dapat
menentukan gradien dari garis y = 2x – 5 dan 3x – 2y
– c = 0. Gradien dari garis y = 2x – 5 adalah 2, sedangkan
gradien dari 3x – 2y – c = 0 adalah –(3/–2) = 3/2. Untuk
lebih memahami mengenai gradien suatu garis, perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal
Berikut ini merupakan segitiga ABC.
Tentukanlah gradien dari ruas garis AB,
BC, AC, dan MN, kemudian tentukan pasangan ruas garis yang
sejajar dan tegak lurus!